基础数学示例

$\frac{z}{z^{2} - 4} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

化简分母。

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解题步骤 1.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{z}{z^{2} - 2^{2}} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

解题步骤 1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = z$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

解题步骤 1.2

从 $4 z - 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $4 z$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z) - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

解题步骤 1.2.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z) + 4 (- 1)}{z^{2} + 6 z + 8}$

解题步骤 1.2.3

从 $4 (z) + 4 (- 1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1)}{z^{2} + 6 z + 8}$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $z^{2} + 6 z + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $6$ 。

$2, 4$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{z}{(z + 2) (z - 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{z + 4}{z + 4}$ 。

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{z - 2}{z - 2}$ 。

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)} \cdot \frac{z - 2}{z - 2}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(z + 2) (z - 2) (z + 4)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{z}{(z + 2) (z - 2)}$ 乘以 $\frac{z + 4}{z + 4}$ 。

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z - 2) (z + 4)} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)} \cdot \frac{z - 2}{z - 2}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$ 乘以 $\frac{z - 2}{z - 2}$ 。

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z - 2) (z + 4)} - \frac{4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(z + 2) (z - 2) (z + 4)$ 的因式。

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{z (z + 4) - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{z \cdot z + z \cdot 4 - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$\frac{z^{2} + z \cdot 4 - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6.3

将 $4$ 移到 $z$ 的左侧。

$\frac{z^{2} + 4 \cdot z - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{z^{2} + 4 z + (- 4 z - 4 \cdot - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6.5

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{z^{2} + 4 z + (- 4 z + 4) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6.6

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 z + 4) (z - 2)$ 。

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解题步骤 6.6.1

运用分配律。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z (z - 2) + 4 (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6.6.2

运用分配律。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z \cdot z - 4 z \cdot - 2 + 4 (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6.6.3

运用分配律。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z \cdot z - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.7.1

化简每一项。

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解题步骤 6.7.1.1

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 6.7.1.1.1

移动 $z$ 。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 (z \cdot z) - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6.7.1.1.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6.7.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 8 z + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6.7.1.3

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 8 z + 4 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6.7.2

将 $8 z$ 和 $4 z$ 相加。

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 12 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6.8

从 $z^{2}$ 中减去 $4 z^{2}$ 。

$\frac{- 3 z^{2} + 4 z + 12 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 6.9

将 $4 z$ 和 $12 z$ 相加。

$\frac{- 3 z^{2} + 16 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 7.1

从 $- 3 z^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 z^{2}) + 16 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 7.2

从 $16 z$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 z^{2}) - (- 16 z) - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 7.3

从 $- (3 z^{2}) - (- 16 z)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z) - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 7.4

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z) - 1 (8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 7.5

从 $- (3 z^{2} - 16 z) - 1 (8)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z + 8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 7.6

化简表达式。

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解题步骤 7.6.1

将 $- (3 z^{2} - 16 z + 8)$ 重写为 $- 1 (3 z^{2} - 16 z + 8)$ 。

$\frac{- 1 (3 z^{2} - 16 z + 8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

解题步骤 7.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 z^{2} - 16 z + 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

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